王海平的个人知识库

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遇到证明积分不等式成立的题目，可以考虑下面几种方法。

构造变限积分函数求导

直接上例题：

设 f (x) 在 [a, b] t e x t 上 连 续 ， 递 增 ， 证 明 ： \int_{a}^{b} x \cdot f (x) d x \geq \frac{(a + b)}{2} \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

求解过程：

令 F (x) = \int_{a}^{x} t f (t) d t - \frac{a + x}{2} \int_{a}^{x} f (t) d t

而其中 $F (a)$ 代入公式可以得到 $F (a) = 0$

而现在只需要证明 $F (x) \geq 0$ 即可，而用到的方法就是求导

\begin{aligned} \Rightarrow F^{'} (x) & = x \cdot f (x) - \frac{1}{2} \cdot \int_{a}^{x} f (t) d t - \frac{a + x}{2} \cdot f (x) \\ = \frac{x - a}{2} \cdot f (x) - \frac{1}{2} \int_{a}^{x} f (t) d t \end{aligned}

求解到这个程度是不能判断是否大于 0 的，所以需要进一步计算，而核心在于要统一，意思是前后形式要统一，如果是积分，那就全是积分，如果是函数形式，那就都是函数形式。

所以我们对后面那部分使用积分中值定理进行变化形式：

\begin{aligned} \Rightarrow \frac{x - a}{2} f (x) - \frac{x - a}{2} \cdot f (ξ) . 其中 (a < ξ < x) \\ \Rightarrow \frac{x - a}{2} (f (x) - f (ξ)) 其中 (a < ξ < x) \end{aligned}

解到这里，就可以进行判断，由题目中 $f (x)$ 递增可以得到：

$x > a$ ， $f (x) > f (ξ)$ 。

故而证明了导数大于 $0$ 。

$F (x)$ 单调递增。

所以可以得到： $F (b) \geq F (a) = 0$ 。

再化简，证毕。

依然是通过例题来说明方法；

题目：

设 f (x) 在 [0, a] 上一阶连续可导， f (0) = 0 ， | f^{'} (x) | \leq M 证明： | \int_{0}^{a} f (x) d x | \leq \frac{a^{2}}{2} \cdot M

这里主要是观察到需要用到导函数和原函数之间的“桥梁”，而这个桥梁一般是中值定理中的拉格朗日中值定理。

NOTE

而这里还有一个知识点：积分绝对值的不等式

| \int_{0}^{a} f (x) d x | \leq \int_{0}^{a} | f (x) | d x

积分的绝对值小于绝对值的积分

这里还可以这么理解：

积分就是求和，而和的绝对值小于等于绝对值的和

接下来开始证明：

左边 = | \int_{0}^{a} f (x) d x | \leq \int_{0}^{a} | f (x) | d x = \int_{0}^{a} | f (x) - f (0) | d x = \int_{0}^{a} | f^{'} (ξ) | \cdot x d x

而这里由题目中可得， $| f^{'} (x) | \leq M$ ，那么在某一点上的值也肯定小于 $M$ 。

所以，可以得到：

\int_{0}^{a} | f^{'} (ξ) | \cdot x d x \leq M \cdot \int_{0}^{a} x d x = \frac{a^{2}}{2} M = 右边

证毕。

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