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无界函数的反常积分。

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任意邻域内都无界，那么点 $a$ 称为函数 $f(x)$ 的瑕点（也称为无界点），无界函数的反常积分称为瑕函数。

定义：

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，点 a 为函数 $f(x)$ 的瑕点, 如果极限

$$\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx$$

存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分，记作 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ ，即

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx$$

这时也称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散

常用结论

$${\int }_a^b\frac{1}{{(x-a)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p\ge 1,& \text{发散}\end{array}$$$${\int }_a^b\frac{1}{{(b-x)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p⩾1,& \text{发散}\end{array}$$

贡献者

王海平

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