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积分中值定理

证明

设函数 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，则 $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$。

证明：

$$\begin{array}{rl}m& =f_{min}\\ M& =f_{max}\\ \therefore m\le & f(x)\le M\\ \therefore {\int }_a^{b}mdx\le & {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx\\ \therefore m(b-a)\le & {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)\end{array}$$

这里有两种情况，一种是 $b=a$，结果自然是 0 ，另外一种便是 $b>a$。大部分的都是这个样子的。

$$\begin{array}{rl}& m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M\\ & \text{由介值定理可得：}\\ & \mathrm{\exists }\xi \in [a,b],m\le f(\xi )\le M\\ & \therefore f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\\ & (b-a)f(\xi )={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

即证。

几何意义

众所周知，当 $f(x)\ge 0$ 的时候，定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示曲线 $y=f(x)$ 下方的曲边梯形的面积，$f(\xi )(b-a)$ 表示以 $f(\xi )$ 为高的同矩形的面积。

所以，$f(\xi )$ 也称为曲边梯形的平均高度，即：$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$。

同时，$f(\xi )$ 也称为在区间 $[a,b]$ 上的积分平均值，即有限个数的算数平均值的推广。

二重积分的中值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $D$ 上连续， $\sigma$ 为 $D$ 的面积，则 $\mathrm{\exists }(\xi ,\eta )\in D$ ，使得：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta ){\iint }_{D}d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma =f(\xi ,\eta )\cdot S_D$$

贡献者

王海平

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