王海平的个人知识库

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有关于秩的结论 ​

  1. 当 P 、 Q 都可逆的时候，有：
R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)

  1. 若 R(Am×n)=n （列满秩），则 R(AD)=R(D) ；

  2. 若 R(Am×n)=m （行满秩），则 R(DA)=R(D) ；

  3. 若 R(Am×n)=n ，则 Am×nX=0 只有零解

  4. 若 R(Am×n)≠n ，则 Am×nX=0 有非零解

  5. 矩阵 A 与 B 共阶 ⇔ R(A)=R(B)

  6. 向量组 A 与 B 共阶 ⇔ R(A)=R(B)=R(A,B)

  7. R(A±B)≤R(A)+R(B)

  8. 若 AB=0 ，则有 R(A)+R(B)≤n ，例如 A(A−E)=E ，则 R(A)+R(A−E)≤n

  9. r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1

正交 ​

α 、 β 正交：则有 αTβ=αβT=0

正交向量组 ⟹ 线性无关组

线性无关组 ⟸ 正交向量组

方程组 ​

线性方程组无解的充分必要条件是 R(A)<R(A,b)

线性方程组有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n

线性方程组有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)<n

AX=b 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b) ，推广到矩阵方程则是 AX=B 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B)

AX=0 有非零解可以推出 |A|=0

齐次方程组只有零解不能推出非齐次方程组有解。

齐次方程组有非零解不能推出非齐次方程组有无穷个解

IMPORTANT

非齐次方程的解的线性组合在系数和为 1 时仍然是解。

齐次方程组的解的任意线性组合仍然为解

设 η1 、 η2 、 ⋯ 、 ηs 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k1η1+k2η2+⋯+ksns 也是 AX=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+⋯+ks=1

线性相关 ​

小相关可以推出大相关

大无关可以推出小无关

维数小于个数的时候，一定线性相关（例如 3 个 2 维向量，一定线性相关）

向量组 A 线性无关，但是 (A,b) 线性相关，则向量 b 一定能由 A 来表示，且形式唯一

向量组 A 线性相关的充分必要条件是其构成的矩阵的秩 R(A)<m （向量个数），线性无关的充分必要条件是 R(A)=m （向量个数）（ B:α1,α2,α3,⋯,αs 向量组无关 ⇔ R(B)=s ； B:α1,α2,α3,⋯,αs 向量组相关 ⇔ R(B)<s ）

可逆以及诸多结论 ​

如果 Am×n 可逆，则可以得到下面这些：

|A|≠0 ，原理： A−1=1|A|A∗

A∼E ，原理： (A,E)∼r(E,A−1)

R(A)=n ，原理：若 A∼B ，则 R(A)=R(B)

AX=0 只有零解，原理：若 R(Am×n)=n ，则 AX=0 只有零解

AX=b 的解唯一，原理： R(A)=R(A,B)=n

A 的特征值都不为 0 ，原理： |A|=λ1λ2λ3⋯λn

ATA 正定

A 的列（行）向量组无关

以上结论都可以相互推导，都是双向箭头

当然，如果 Am×n 不可逆，则上面的所有结论都将反过来。

贡献者 ​

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