王海平的个人知识库

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基本积分公式 (需要记忆)

\begin{matrix} \int k d x = k x + C \\ \int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq - 1) \\ \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = \arcsin \frac{x}{a} + C = - \arccos \frac{x}{a} + C \\ \int e^{x} d x = e^{x} + C \\ \int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \\ \int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C - arccot \frac{x}{a} + C \\ \int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C \\ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C \\ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C \end{matrix}

\begin{matrix} \int \cos x d x = \sin x + C \\ \int \sin x d x = - \cos x + C \\ \int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C \\ \int \csc x d x = \ln | \csc x - \cot x | + C \\ \int \sec x \tan x d x = \sec x + C \\ \int \csc x \cot x d x = - \csc x + C \\ \int \tan x d x = \ln | \sec x | + C \\ \int \sec^{2} x d x = \tan x + C \\ \int \csc^{2} x d x = - \cot x + C \end{matrix}

通过做题发现， $\int \sec^{2} x d x = \tan x + C$ 使用的次数比较多。

同时一般会去配 $\frac{1}{\cos^{2} x}$

由此可以得到

\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \int \sec^{2} x d x = \tan x + C

有理函数的不定积分

多项式的商，一般称为有理函数。

同时，这里的多项式分为真分式、假分式。

$\frac{x + 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ 就是真分式，而 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ 和 $\frac{2 x^{4} + x^{2} + 3}{x^{2} + 1}$ 则是假分式。

综上，我们将判读的方法进行总结：

IMPORTANT

分母的最高次幂大于分子的最高次幂，则称为真分式

分母的最高次幂小于等于分子的最高次幂，则称为假分式

在进行积分的过程中，要把假分式变换为真分式。

分母能拆项列项

例如：

\frac{2 x^{4} + x^{2} + 3}{x^{2} + 1}

这个很明显是个假分式，我们要将其拆出来，出现真分式。

通过上面这种除法，可以得到最后的结果：

2 x^{2} - 1 + \frac{4}{x^{2} + 1}

再就是针对复杂题目：

\frac{x^{5} - 1000}{(x + 1)^{2} (x - 1)^{3} (x^{2} + 1)^{4}}

这就需要进行拆项列项

IMPORTANT

拆项列项是有前提的：

前提是分母已经分解到不能分解了

注意看：

我们将原式拆解为：

\frac{}{x + 1} + \frac{}{(x + 1)^{2}} + \frac{}{(x - 1)} + \frac{}{(x - 1)^{2}} + \frac{}{(x - 1)^{3}} + \frac{}{x^{2} + 1} + \frac{}{(x^{2} + 1)^{2}} + \frac{}{(x^{2} + 1)^{3}} + \frac{}{(x^{2} + 1)^{4}}

观察上式：

分母要拆成如下形式：

(x + 1)^{2} 要拆成 \frac{}{(x + 1)} + \frac{}{(x + 1)^{2}} \dots

然后是分子，分子要拆成：

分子的最高次幂比分母的核心部分低一次。

比如，前两项，核心部分是 $(x + 1)$ ，次数是 $1$ ，所以，比其低一次是常数。

可以得到：

\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^{2}}

然后看接下来的三项，其核心部分是 $(x - 1)$ ，比其低一次，结果是常数。

所以得到：

\frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^{2}} + \frac{E}{(x - 1)^{3}}

再来看最后面四项，其核心部分是 $x^{2} + 1$ ，次数为 $2$ ，比起低一次，所以，要设为 $A x + B$

所以可以得到：

\frac{A_{1} x + B_{1}}{x^{2} + 1} + \frac{A_{2} x + B_{2}}{(x^{2} + 1)^{2}} + \frac{A_{3} x + B_{3}}{(x^{2} + 1)^{3}} + \frac{A_{4} x + B_{4}}{(x^{2} + 1)^{4}}

然后在是一个一个去求解，很麻烦，但是上面这个题目考试不会考的。

IMPORTANT

以上方法只适用于：

真分式，真分式才能拆项列项
分母能够因式分解，且需要把它分解到不能再分解为止。

来几个例题。

例题

第一个

\int \frac{x + 1}{x^{2} - 5 x + 6} d x

先观察是不是真分式，很明显分母的最高次项大于分子的最高次项。

然后对分子进行拆项列项：

\Rightarrow \int \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} d x

然后需要通分计算得到 $A$ 、 $B$ 的值。

通过计算得到：

A = - 3

B = 4

所以，原始可以换成：

\int \frac{- 3}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} d x

最后的结果是：

- 3 \ln | x - 2 | + 4 \ln | x - 3 | + C

第二个

\int \frac{x + 2}{(2 x + 1) (x^{2} + x + 1)} d x

很明显可以判断出这个是一个真分式

而字母也已经不能再因式分解了，所以我们有：

\Rightarrow \frac{x + 2}{(2 x + 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}

然后再就是通分求解。

可以得到：

A = 2 B = - 1 C = 0

前面一部分是针对分母可以分开的情况：

分母不能拆项列项

如果出现分母不能分开的情况：

|500

综上所述：

NOTE

遇到有理函数的积分，无论是定积分还是不定积分。

先判断是不是真分式：

如果不是，利用"除法"去化成真分式形式

再判断分母是不是不能再因式分解：

如果不能再因式分解，则将分子给“凑”出来，凑成 $\int \frac{1}{x} d x$ 的形式，常数项部分分母进行配方

如果都可以，则进行拆项列项。

贡献者

王海平

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基本积分公式 (需要记忆) ​

有理函数的不定积分 ​

分母能拆项列项 ​

例题 ​

第一个 ​

第二个 ​

分母不能拆项列项 ​

综上所述： ​

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