基本积分公式 (需要记忆)
通过做题发现,
同时一般会去配
由此可以得到
除此之外,还需要知道的是:
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999## 有理函数的不定积分
多项式的商,一般称为有理函数。
同时,这里的多项式分为真分式、假分式。
综上,我们将判读的方法进行总结:
IMPORTANT
分母的最高次幂大于分子的最高次幂,则称为真分式
分母的最高次幂小于等于分子的最高次幂,则称为假分式
在进行积分的过程中,要把假分式变换为真分式。
分母能拆项列项
先是分子最高次幂大于分母最高次幂:
例如:
这个很明显是个假分式,我们要将其拆出来,出现真分式。
这里用到的方法是用分子除以分母。
通过上面这种除法,可以得到最后的结果:
然后再进行计算,这里指的是已经化成了真分式之后的计算。
再就是针对复杂题目:
这就需要进行拆项列项
IMPORTANT
拆项列项是有前提的:
前提是分母已经分解到不能分解了
注意看:
我们将原式拆解为:
观察上式:
分母要拆成如下形式:
然后是分子,分子要拆成:
分子的最高次幂比分母的核心部分低一次。
比如,前两项,核心部分是
可以得到:
然后看接下来的三项,其核心部分是
所以得到:
再来看最后面四项,其核心部分是
所以可以得到:
然后在是一个一个去求解,很麻烦,但是上面这个题目考试不会考的。
NOTE
这里有一个方法,是在信号与系统中的留数法,这个方法简单说是"盖起来算其他" 但是这个方法只能用于分母最高次幂为 2 次的情况 当分母最高次幂为 2 次的时候,根据上面的方法进行拆解,得到的是两个项,而只能用于 2 次幂的哪个,低次幂的哪一项不能使用,具体计算方法在“留数法”下面的“一道难题”中有具体解答,需要注意的是,在信号与系统中可以讲
IMPORTANT
以上方法只适用于:
真分式,真分式才能拆项列项
分母能够因式分解,且需要把它分解到不能再分解为止。
来几个例题。
例题
第一个
先观察是不是真分式,很明显分母的最高次项大于分子的最高次项。
然后对分子进行拆项列项:
然后需要通分计算得到
通过计算得到:
所以,原始可以换成:
最后的结果是:
第二个
很明显可以判断出这个是一个真分式
而字母也已经不能再因式分解了,所以我们有:
然后再就是通分求解。
可以得到:
前面一部分是针对分母可以分开的情况:
分母不能拆项列项
如果出现分母不能分开的情况:
综上所述
NOTE
遇到有理函数的积分,无论是定积分还是不定积分。
先判断是不是真分式:
如果不是,利用"除法"去化成真分式形式
再判断分母是不是不能再因式分解(拆项裂项):
如果不能再因式分解,则将分子给“凑”出来,凑成
如果都可以,则进行拆项列项。
NOTE
如果不是真分式,
这里需要判断,首先是分子分母的最高次幂是否相等,如果相等,则需要提出来一个 “1”,剩余的部分则化为了真分式,再按照上面的方法进行计算。
如果分子的最高次幂大于分母的最高次幂,则需要进行 “除法”,用列竖式的方式用分母除以分子,得到一个结果以及一个余项,或者没有余项。