Skip to content

求极限

字数
1525 字
阅读时间
8 分钟

一、定积分定义

核心公式:

limn+1nk=1nf(kn)=01f(x)dx

需要理解的是,定积分所求的就是此函数曲线所对应的面积大小,只不过这里用极限的思想进行引申,相当于很多个非常小的四边形面积求和

适用类型

只要题目经过代数变换之后出现1nf(kn)(或者出现f(in))就可以用定积分定义

NOTE

推广:

limn+bank=1nf(a+k(ba)n)=abf(x)dx

原理:

把区间01推广到区间ab,区间每一段的长度从10n变为b1n,对应的函数值由f(1n),f(2n),...,f(nn)变为对应的f(a+b1n),f(a+2(ba)n),f(a+3(ba)n),...,f(a+(n1)(ba)n),f(a+n(ba)n)

image-20240911162630846

在开始之前,需要了解一道例题,这道例题我当时在做的时候是错了的,所以现在需要复盘一下。

x(,+),计算limn1n2i=1n(nex+i)(nex+i+1)

正常来看,看到式子中含有 1n2 差不多就会考虑定积分定义。

所以开始计算:

limn1n2i=1n(nex+i)(nex+i+1)limn1ni=1n(nex+i)(nex+i+1)n2limn1ni=1n(ex+in)(ex+in+1n)这个地方的1n趋于0,所以忽略不计limn1ni=1n(ex+in)重点来了,主要看上面的定积分定义,是将in转换为x所以这个地方的ex是一个与x无关的量,在计算的时候忽略不计所以将其设为A01(A+x)dx(Ax+12x2)|01A+12ex+12

NOTE

这个地方最关键的地方是要考虑清楚定积分定义在使用的过程中,是关于 in 的。当然,不排除存在不能凑出 in,这个时候需要根据题目来进行判断,适当的进行放缩。 比如下面这个题目

limn+(n2+1n3+13+n2+2n3+23++n2+nn3+n3)

很明显是有影响的,所以使用定积分定义进行计算。

首先需要先提取出一个 1n 出来。

limn+(n2+1n3+13+n2+2n3+23++n2+nn3+n3)limn+n2n3(1+1n21+13n3+1+2n21+23n3++1+nn21+n3n3)这个地方通过观察是不满足f(in)的,所以将分子进行放缩成(1+1n2),之所以这样放缩不会影响,核心在于最大的那一项(1+nn2)放缩之后与原来的差值是n1n2由于n+所以依然是无穷小,不产生影响。011+x21+x3dx就是这个积分不好算。

例题一

计算极限

limn+i=1nj=1nn(n+i)(n2+j2)

求解:

limn+i=1nj=1nn(n+i)(n2+j2)=limn+i=1nj=1n1(1+in)(n2+j2)n2n2=limn+1n2×i=1nj=1n1(1+in)(n2+j2n2)=limn+1n2×i=1nj=1n1(1+in)(1+(jn)2)=limn+1n×i=1n11+in×1n×j=1n11+(jn)2=0111+xdx×0111+x2dx=ln(1+x)|01×arctan(x)|01=π4ln2

例题二

题目:

limn1n(1cos2πn+1cos4πn++1cos2nπn)

还是利用我们的定积分定义,想办法去凑我们的公式

同时注意到上面公式中的1cos2πn+1cos4πn++1cos2nπn,可以从中找到规律,替换成下面公式的样子:

k=1n1cos2kπn

就这样,我们替换出了最终公式:

limn1nk=1n1cos2kπn=011cos2πxdx然后使用二倍角公式:(1cos2x2=sin2x)=012sin2πxdx=201sinπxdx=21π0πsinπxdπx=21π(cosx|0π)=22π

NOTE

需要注意的是,类似于上面题目中的带有省略号的题目,需要注意去找到规律,然后去做题

例题三

limn1ni=1ninsinin

很明显通过定积分定义,得到:

原式=01xsinxdx这个的求解需要用到 反对幂指三 的顺序去 分部积分=01xd(cosx)=(x(cosx))|01011×(cosx)dx=cos1+sinx|01=sin1cos1

NOTE

这个地方的重点在于 分部积分法 ,按照 反对幂指三 的顺序从左到右的级别,级别高的作为μ

分部积分的公式:

μdv=μvvdμ

例题四

limnn!nn

两种方法:

  1. 斯特林公式

  2. 定积分公式

  3. 几何意义法

一:

limnn!nn=limne1nlnn!n=limne1n

二 :

原式=limn+(n!nn)1n=limn+(1n2n3nnn)1n=e1nln(1n2nnn)=eln1n+ln2n+lnnnn=e01lnxdx=e(xlnxx)|x=1limn0+(xlnxx)=e10=1e

需要注意的地方就是,当遇到n!nn的时候,需要多注意,这个可以拆开

三:

暂时略...

贡献者

文件历史

布局切换

调整 VitePress 的布局样式,以适配不同的阅读习惯和屏幕环境。

全部展开
使侧边栏和内容区域占据整个屏幕的全部宽度。
全部展开,但侧边栏宽度可调
侧边栏宽度可调,但内容区域宽度不变,调整后的侧边栏将可以占据整个屏幕的最大宽度。
全部展开,且侧边栏和内容区域宽度均可调
侧边栏宽度可调,但内容区域宽度不变,调整后的侧边栏将可以占据整个屏幕的最大宽度。
原始宽度
原始的 VitePress 默认布局宽度

页面最大宽度

调整 VitePress 布局中页面的宽度,以适配不同的阅读习惯和屏幕环境。

调整页面最大宽度
一个可调整的滑块,用于选择和自定义页面最大宽度。

内容最大宽度

调整 VitePress 布局中内容区域的宽度,以适配不同的阅读习惯和屏幕环境。

调整内容最大宽度
一个可调整的滑块,用于选择和自定义内容最大宽度。

聚光灯

支持在正文中高亮当前鼠标悬停的行和元素,以优化阅读和专注困难的用户的阅读体验。

ON开启
开启聚光灯。
OFF关闭
关闭聚光灯。

聚光灯样式

调整聚光灯的样式。

置于底部
在当前鼠标悬停的元素下方添加一个纯色背景以突出显示当前鼠标悬停的位置。
置于侧边
在当前鼠标悬停的元素旁边添加一条固定的纯色线以突出显示当前鼠标悬停的位置。