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核心就是上面图。

自变量在点 x 处的改变量 $\mathrm{\Delta }x$ ，函数 $y=f(x)$ 的相应改变量 $\mathrm{\Delta }y$ 可以表示为：

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)(\mathrm{\Delta }x\to 0)$$

其中， $A\mathrm{\Delta }x$ 作为 $\mathrm{\Delta }y$ 的线性主部，即为函数 $y=f(x)$ 在 x 处的微分，记作：

$$dy=A\mathrm{\Delta }x=f^{\prime }(x)dx$$

上面这个则是微分的定义，非常重要。

微分 dy 与改变量 $\mathrm{\Delta }y$ 的关系

当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，自变量的改变量 $\mathrm{\Delta }x$ 、微分 $\mathrm{\Delta }y$ 、函数改变量 $dy$ 有下述关系。

第一个

当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时， $\mathrm{\Delta }y-dy$ 是一个比 $\mathrm{\Delta }x$ 高阶的无穷小量

其含义是 $\mathrm{\Delta }y-dy$ 【 $M^{\prime }T$ 】趋于 0 的速度大于 $\mathrm{\Delta }x$ 【 $MN$ 】趋于 0 的速度。

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y-dy}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y-A\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=0$$

第二个

当 $A=f^{\prime }(x)\ne 0$ 时，微分 $dy$ 与函数改变量 $\mathrm{\Delta }y$ 的差是一个比 $\mathrm{\Delta }y$ 高阶的无穷小量。

含义是： $\mathrm{\Delta }y-dy$ 【 $M^{\prime }T$ 】趋于 0 的速度大于 $\mathrm{\Delta }y$ 【 $M^{\prime }N$ 】趋于 0 的速度。

也就是分子趋于 0 的速度大于分母趋于 0 的速度。

$$\underset{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{y}-\mathrm{dy}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{y}}=\underset{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{o}(\mathrm{\Delta }\mathrm{x})}{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }\mathrm{x}+\mathrm{o}(\mathrm{\Delta }\mathrm{x})}=\underset{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{A}[\mathrm{\Delta }\mathrm{x}/\mathrm{o}(\mathrm{\Delta }\mathrm{x})]+1}=0$$

第三个

当 $A=f^{\prime }(x)\ne 0$ 时， $dy=A\mathrm{\Delta }x$ 与 $\mathrm{\Delta }y$ 是等价无穷小量

其含义是： $dy$ 【 $TN$ 】趋于 0 的速度等于 $\mathrm{\Delta }y$ 【 $M^{\prime }N$ 】趋于 0 的速度。

也就是分子趋于 0 的速度等于分母趋于 0 的速度。

$$\underset{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{y}}{\mathrm{dy}}=\underset{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }\mathrm{x}+\mathrm{o}(\mathrm{\Delta }\mathrm{x})}{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }\mathrm{x}}=1+0=1$$

第四个

当 $A=f^{\prime }(x)\ne 0$ 时， $dy=A\mathrm{\Delta }x$ 与 $\mathrm{\Delta }x$ 是同阶无穷小量。

其含义是： $dy$ 【 $TN$ 】趋于 0 的速度是 $\mathrm{\Delta }x$ 【 $MN$ 】趋于 0 的速度的 $A$ 倍、

也就是分子趋于 0 的速度等于 $A\times$ 分母趋于 0 的速度。

$$\underset{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}}=\underset{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }\mathrm{x}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{x}}=\mathrm{A}\ne 0$$

贡献者

王海平

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