Skip to content
字数
846 字
阅读时间
4 分钟

微分方程的一些概念

一阶微分方程

一阶微分方程是指只有一阶导数或微分的微分方程

注:阶数是微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,如 y+xy=ysinx 就是二阶微分方程了。

线性

形如

y+p(x)y+q(x)=0

指的是微分方程简化之后的每一项关于 yy 的指数为 1.

注:这里仅仅是对于 y 本身来说,对 x 没限制,其中对于 p(x)q(x) 并不做限制。形式如 (y)2+p(x)y+q(x)=0y+p(x)y2+q(x)=0 等形式的就不再是线性方程。

齐次

常数项(即不含有未知数的项为 0),称为齐次线性方程

齐次微分方程

形如

y=f(yx)

换元后能为可分离变量方程的一类微分方程,其中 f 是已知的连续方程。

一阶线性微分方程

二阶常系数线性微分方程

形如:

y+py+qy=f(x)

的微分方程,其中 pq 是实常数。

求解

主要分为以下几类:

1.一阶微分方程的的求解

2.二阶可降阶微分方程的求解

3.高阶常系数线性微分方程的求解

|500

一阶微分方程的求解

可分离变量微分方程

首先是可分离变量的微分方程。

一般形式: dydx=f(x)g(x)

解法:合并同类项,然后积分。

齐次微分方程

一般形式: dydx=f(yx)

一般不会直接得到这个形式的题目,基本上都需要化简之后得到这个形式。

求解:

u=yx ,有: dydx=d(xu)dx=u+xdudx

代入原方程,再合并同类项,然后积分。

一阶线性微分方程

一般形式: dydx+P(x)y=Q(x)

一阶齐次线性微分方程:

Q(x)0 ,则通解为:

y=CeP(x)dx

一阶非齐次线性微分方程

Q(x)0 ,则通解为:

y=CeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdx+C]

二阶微分方程

二阶齐次线性微分方程

一般形式:

d2(y)dx2+P(x)dydx+Q(x)=0

通解:

y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2R)

其中的 y1(x),y2(x) 为该方程的特解,其线性无关,也就是: y2(x)y1(x)C

二阶常系数齐次线性微分方程

一般形式:

d2(y)d(x)2+pdydx+q=0(y+py+qy=f(x))

通解:

|500

|450

二阶常系数非齐次线性微分方程

一般形式:

y+py+qy=f(x)

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

齐次通解就是上面哪几个解,注意其个别的形式。

关键是非齐次特解:

二阶可降解微分方程

这个只有两种:

不含有 y

y=f(x,y) 中,不含有 y。

要设 y=p ,则 y=p

可以得到 p=f(x,p)

不含 x

y=f(y,y) ,中不含有 x 的。

y=p ,则 y=dpdx=dpdydydx=pdpdy

所以,可以得到:

pdpdy=f(y,p)

贡献者

文件历史