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微分方程的一些概念

一阶微分方程

一阶微分方程是指只有一阶导数或微分的微分方程。

注：阶数是微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,如 $y^{\prime \prime }+xy=y\sin x$ 就是二阶微分方程了。

线性

形如

$$y^{\prime }+p(x)y+q(x)=0$$

指的是微分方程简化之后的每一项关于 $y$、 $y^{\prime }$ 的指数为 $1$.

注：这里仅仅是对于 $y$ 本身来说，对 $x$ 没限制，其中对于 $p(x)$ 和 $q(x)$ 并不做限制。形式如 $(y^{\prime }{)}^2+p(x)y+q(x)=0$，$y^{\prime }+p(x)y^2+q(x)=0$ 等形式的就不再是线性方程。

齐次

常数项（即不含有未知数的项为 $0$），称为齐次线性方程。

齐次微分方程

形如

$$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$$

换元后能为可分离变量方程的一类微分方程，其中 $f$ 是已知的连续方程。

一阶线性微分方程

二阶常系数线性微分方程

形如：

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

的微分方程，其中 $p$ 和 $q$ 是实常数。

求解

主要分为以下几类：

1.一阶微分方程的的求解

2.二阶可降阶微分方程的求解

3.高阶常系数线性微分方程的求解

一阶微分方程的求解

可分离变量型的解法

贡献者

王海平

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