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微分方程的一些概念
一阶微分方程
一阶微分方程是指只有一阶导数或微分的微分方程。
注:阶数是微分方程中含有的导数或微分的最高阶数
,如
线性
形如
指的是微分方程简化之后的每一项关于
注:这里仅仅是对于
齐次
常数项(即不含有未知数的项为
齐次微分方程
形如
换元后能为可分离变量方程的一类微分方程,其中
一阶线性微分方程
二阶常系数线性微分方程
形如:
的微分方程,其中
求解
主要分为以下几类:
1.一阶微分方程的的求解
2.二阶可降阶微分方程的求解
3.高阶常系数线性微分方程的求解
一阶微分方程的求解
可分离变量微分方程
首先是可分离变量的微分方程。
一般形式:
解法:合并同类项,然后积分。
齐次微分方程
一般形式:
一般不会直接得到这个形式的题目,基本上都需要化简之后得到这个形式。
求解:
令
代入原方程,再合并同类项,然后积分。
一阶线性微分方程
一般形式:
一阶齐次线性微分方程:
若
一阶非齐次线性微分方程
若
二阶微分方程
二阶齐次线性微分方程
一般形式:
通解:
其中的
二阶常系数齐次线性微分方程
一般形式:
通解:
二阶常系数非齐次线性微分方程
一般形式:
非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
齐次通解就是上面哪几个解,注意其个别的形式。
关键是非齐次特解:
二阶可降解微分方程
这个只有两种:
不含有 的
在
要设
可以得到
不含 的
在
令
所以,可以得到: