王海平的个人知识库

字数

691 字

阅读时间

3 分钟

对于两个函数，如何证明这两个函数是相等的。

中学的时候学过的定义。

两个函数相等的定义：若对 \forall t_{0} \in R ，有 f_{1} (t_{0}) = f_{2} (t_{0}) ，则认为 f_{1} (t) = f_{2} (t)

这个定义在数学的角度上没有任何问题。但是太严谨了，在有些情况上不太好实现，比如在现实生活中，找不到两个完全一样的“函数”。

那么勒贝格就开始思考了，如果这两个函数只是在某一个 (某两个) 点上的值不一样，我们还能认为这两个函数相等吗？

勒贝格认为是相等的。

对此，勒贝格做了延申，延申到了有限个点上，所以就得到了第二个定义：

若 f_{1} (t) 与 f_{2} (t) 只在有限个点上不相等，在其他点上相等，则 f_{1} (t) = f_{2} (t)

得到这样的定义，其实没有问题，但是数学家认为不行，因为不优美。

所以，勒贝格便提出了新的第二个定义。

两个函数 $f_{1} (t) = f_{2} (t)$ ，是指对任意（不精确，y(t)不能取奇异函数）函数 $y (t)$ ，有：

\int_{- \infty}^{+ \infty} y (t) f_{1} (t) d t = \int_{- \infty}^{+ \infty} y (t) f_{2} (t) d t

这个定义是包含之前的定义二的。

这个怎么理解呢？

如果说两个函数 $f_{1} (t) 和 f_{2} (t)$ 只是在有限个点上不一样，那么 $y (t) f_{1} (t) 和 y (t) f_{2} (t)$ 也只在有限个点上不一样。

进而，根据黎曼积分定义（求和），有限个点上取值不同，不影响积分的结果。

NOTE

假如说， $f_{1} (t) 和 f_{2} (t)$ 都是指在区间 $[0, 1]$ 上的函数 $x$ , 但是唯一的区别在于是在 $\frac{1}{2}$ 处的值不相等，那么根据黎曼积分的定义，在 $[0, 1]$ 上进行累加，由于每个小区间的“底”都是趋于 0 的，那么这个值不相等是不影响最终的结果的。

换句话说，计算 $[0, 1]$ 上的积分，由于 $\frac{1}{2}$ 处的取值不相等，我们只计算 $[0, \frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的积分。数学计算的结果是一样的。

但是，需要注意的是，上面所有说到的“不影响”，都是基于有限个离散的点不一样上，如果两个函数有一段是不相等的，我们必须认为这两个函数是不一样的。因为可以很轻松的举出反例。理由可以说，一段也是无限个点。

贡献者

王海平

文件历史

最后编辑于大约 1 个月前查看完整历史

贡献者 ​

文件历史 ​

贡献者

文件历史