Skip to content
字数
1006 字
阅读时间
5 分钟

奇零偶倍

aaf(x)dx={0f(x)为奇函数20af(x)dxf(x)为偶函数

交换

0π2f(sinx,cosx)dx=0π2f(cosx,sinx)dx

推论一

0π2sinnxdx=0π2cosnxdx={(n1)!!n!!n 为奇 (n1)!!n!!π2n 为偶 

推论二

0π2f(sinx)dx=0π2f(cosx)dx

例题

0π2sin2020xsin2020x+cos2020xdx

具体过程如下:

0π2sin2020xsin2020x+cos2020xdx(1)0π2cos2020xsin2020x+cos2020xdx(2)根据性质可得一式和二式相等。0π2sin2020xsin2020x+cos2020xdx=0π2cos2020xsin2020x+cos2020xdx所以可以得到原式等于12(一式+二式)0π2sin2020xsin2020x+cos2020xdx=120π21dx=π4

再来一个例题:

0π2sin3(x)dx=2!!3!!=2×13×1=23

换限

0πf(sinx)dx=20π2f(sinx)dx

举个例子:

0πsin6xdx=20π2sin6xdx=25!!6!!π2

xf(x) 的变换

0πxf(sinx)dx=π20πf(sinx)dx

举个例子:

0πxsin5xdx=π20πsin5xdx=π220π2sin5xdx=π224!!5!!

周期为 T 的函数

一、

aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx=T2T2f(x)dx

二、

aa+nTf(x)dx=n0Tf(x)dx=nT2T2f(x)dx

反常积分中的伽马函数

伽马函数一般用来快速计算反常积分(广义积分)

其核心是:

Γ(n)=0+xn1exdx(n>0)

IMPORTANT

注意,关于伽马函数,一般题目都是需要换元的,也就是需要凑出伽马函数的形式,然后再计算。

而伽马函数形式的核心在于 ex ,也就是需要将题目中的这一项换成 ex 形式,才能继续后面的计算。

其中,伽马函数具备以下这样的递推关系:

Γ(n+1)=nΓ(n)

特别的是:

Γ(n+1)=n!n为自然数的时候

除此之外,伽马函数还有以下性质:

Γ(1)=1Γ(12)=π

半整数阶公式:

Γ(n+12)=(2n)!4nn!π

举例使用

当遇到形如 0+xkeaxdx 的积分时,可通过变量替换转化为伽马函数形式。

通用步骤:

  1. 变量替换:令 t=ax ,则 x=tadx=1adt
  2. 代入积分:0+(ta)ket1adt=1ak+10+tketdt=Γ(k+1)ak+1
  3. 化简结果:利用 Γ(k+1)=k! (若 k 为自然数),或保留伽马函数形式

例题

计算

0+xex2dx

t=x2 ,则 x=tdx=12t12dt

则积分变为:

0+t14et12t12dt=120+t14etdt=12Γ(34)

定积分中的贝塔函数

贝塔函数的定义是:

B(p,q)=01xp1(1x)q1dx(p>0,q>0)

性质

对称性:

B(p,q)=B(q,p)

特殊值:

B(1,1)=1B(12,12)=π

与伽马函数之间的关系

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)

适用场景

适合用于处理 01 上的积分,形如: 01xa(1x)bdx

以及通过变量替换可以换到 01 上的积分。

例如:

0+xk(1+x)mdx

来个例题:

0+x3(1+x)5dx

按照之前的做法是要拆项裂项。

这里需要进行换元计算: 令 t=x1+x ,则 x=t1tdx=1(1t)2dt

积分变换为:

01(t1t)31(1t)51(1t)2=01t3(1t)0dt=B(4,1)

然后再利用贝塔函数和伽马函数之间的关系进行计算,得到最后的结果。

再来一个例题:

NOTE

具体问题具体分析,适用贝塔函数不见得是最简单的方法,比如示例 3,直接可以点火公式得到最后的结果。

前面一道题也是,直接就可以得到最后的结果,不需要再去硬凑贝塔函数的形式。

贡献者

文件历史