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奇零偶倍

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{ll}0& f(x)\text{为奇函数}\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx& f(x)\text{为偶函数}\end{array}$$

交换

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x,\cos x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x,\sin x)dx$$

推论一

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}& n\text{ 为奇 }\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n\text{ 为偶 }\end{array}$$

推论二

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx$$

例题

$$\text{求}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2020}x}{{\sin }^{2020}x+{\cos }^{2020}x}dx$$

具体过程如下：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2020}x}{{\sin }^{2020}x+{\cos }^{2020}x}dx\text{(1)}\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{2020}x}{{\sin }^{2020}x+{\cos }^{2020}x}dx\text{(2)}\\ \\ & \text{根据性质可得一式和二式相等。}\\ \\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2020}x}{{\sin }^{2020}x+{\cos }^{2020}x}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{2020}x}{{\sin }^{2020}x+{\cos }^{2020}x}dx\\ \\ & \text{所以可以得到原式等于}\frac{1}{2}(\text{一式}+\text{二式})\\ \\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2020}x}{{\sin }^{2020}x+{\cos }^{2020}x}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx=\frac{\pi }{4}\end{array}$$

再来一个例题：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^3(x)dx=\frac{2!!}{3!!}=\frac{2\times 1}{3\times 1}=\frac{2}{3}$$

换限

$${\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx$$

举个例子：

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{6}xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{6}xdx=2\cdot \frac{5!!}{6!!}\cdot \frac{\pi }{2}$$

$xf(x)$ 的变换

$${\int }_0^{\pi }x\cdot f(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$$

举个例子：

$${\int }_0^{\pi }x\cdot {\sin }^{5}xdx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{5}xdx=\frac{\pi }{2}\cdot 2\cdot {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{5}xdx=\frac{\pi }{2}\cdot 2\cdot \frac{4!!}{5!!}$$

周期为 T 的函数

一、

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$$

二、

$${\int }_a^{a+nT}f(x)dx=n\cdot {\int }_0^{T}f(x)dx=n\cdot {\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$$

贡献者

王海平

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