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一、快速抓大头

抓大头直接得到结果：

$$n^n>n!>a^n>n^a>n>\sqrt{n}>\ln n(a>1,n>+\mathrm{\infty })$$

二、$n$ 次根号下累加的性质

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}\text{其中}{a}_i>0,i=1,2,\cdots ,n$$

例题：

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{|x|}^{3n}}\text{求}f(x)\text{在何处不可导}$$$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+|x{|}^{3n}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{\left(|x{|}^3\right)}^n}\\ & =max\{1,|x{|}^3\}\end{array}$$

这个函数的图像如下：

可以很轻松的得到 $f(x)$ 在 $-1$ 和 $1$ 处不可导。

三、指数相乘三角函数的快速求积分

这个是对于指数相乘三角函数的快速求积分的方法

$$\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\sin bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \sin bx\end{array}\right|+c$$$$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\cos bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \cos bx\end{array}\right|+c$$

需要注意的是，核心是计算这个行列式。

四、$f(x)=x\cdot \ln x$

$$f(x)=x\cdot \ln x$$

需要记忆这个函数的图像。

五、$\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

记忆

$$g(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

的有关性质。

1、 $g(x)$ 是一个奇函数

2、

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

3、

$$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+c$$

这个公式的推导来自于基本积分公式：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$

4、

等价无穷小，这个有时候用的挺多的

$$\ln (x+\sqrt{x^2+1})\sim x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$

一般只用到前两项，如果还有必要，做题遇到再说，因为这个函数的导数不是很好求，不过依然可以用泰勒展开求解。

六、关于 $\sqrt[n]{n}$ 的一些性质

1、$\sqrt[n]{n}$ 的最大值是 $\sqrt[3]{3}$

2、$\sqrt[x]{x}$ 的最大值是 $\sqrt[e]{e}$

3、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{A}=1$$

4、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}(k_i\le n)(a_i>0)$$

七、导数与原式同时出现

如果 $f^{\prime }(x)$ 和 $f(x)$ 同时出现，那么需要考虑两种情况。

第一个，考虑拉格朗日中值定理

$$f(x)-f(a)=f^{\prime }(\xi )\cdot (x-a)\xi \in (a,x)$$

第二个，考虑积分

$$f(x)-f(a)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$$

八、常见函数的极限

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=0$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=-1$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$$

例题：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x$$

这里需要分左右极限来处理。

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ \Rightarrow & -1\cdot \frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ & \Rightarrow 1\cdot -\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

九、变上限积分的无穷小

$${\int }_0^{x^n}{t}^{m}dt\mathrm{是}x\text{的}(m+1)\cdot n\text{阶无穷小}$$

例题：

$$x\to 0\text{时，}{\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt\text{是}x\text{的几阶无穷小}$$$${\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt={\int }_0^{x^3}{t}^{4}dt$$

根据上面的公式，得到原式是 $x$ 的 $(4+1)\times 3=15$ 阶无穷小。

十、三步走和四步走

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+e^{nx}}{1+e^{nx}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}\frac{1+x}{2}& x=0\\ 1& x>0\\ x+1& x<0\end{array}$$

核心在于将 $f(x)$ 中的 $n$ 去掉。

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ 0& x=-1\\ 1+x& |x|<1\\ 0& |x|>1.\end{array}$$

关键是在于要学会对 $f(x)$ 进行分析。

十一、三角恒等变换相关公式

积化和差以及和差化积公式

$$\begin{array}{c}\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{c}\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \tan \alpha -\tan \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \cot \alpha +\cot \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \cot \alpha -\cot \beta =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha +\cot \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha -\cot \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\end{array}$$

记忆口诀： 正加正，正在前， 余加余，余并肩。 正减正，余在前， 余减余，负正弦。

积化和差公式：

$$\begin{array}{c}\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

记忆口诀： 积化和差得和差， 余弦在后要相加； 异名函数取正弦， 正弦相乘取负号。

和差角公式

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha$$$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$$$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

六边形关系

其中有三组关系：

• 边上的三角函数两边相乘等于中间
• 染了色的三角形上面两个三角函数的平方和等于下面的
• 相对的三角函数是倒数关系

二倍角公式

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$$$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$

三倍角公式

$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha {\cos }^2\alpha -{\sin }^3\alpha$$$$\cos 3\alpha ={\cos }^3\alpha -3{\sin }^2\alpha \cos \alpha$$

半角公式

注意，具体需要符号看象限

$$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$$$$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$$$$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$$$$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

降幂公式

$$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2}$$$${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$$${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$$

辅助角公式

$$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$$

其中， $\tan \phi =\frac{b}{a}$

点鞭炮公式

$$\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cdots \cos 2^n\theta =\prod _{i=0}^n\cos 2^i\theta =\frac{\sin 2^{n+1}\alpha }{2^{n+1}\sin \alpha }$$

万能公式

辅助记忆图：

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{{\sec }^2\frac{x}{2}}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{{\sec }^2\frac{x}{2}}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\cot \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$$$$\sec \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$$$$\csc \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$$$$\tan x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$$

十二、切线方程

过 $P$ 点的切线方程为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

若过P另有曲线C的切线，切点为 $Q(b,f(b))$，则切线为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(b)(x-a)$$

十三、曲率与曲率半径

曲率，主要是用到了与导数相关的知识。

曲率：

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{[1+(y^{\prime }{)}^2]}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径：

$$R=\frac{1}{K}$$

十四、曲线渐近线问题

曲线的斜渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_1\text{且}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{1}x)=b_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_2\text{且}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{2}x)=b_2$$

上面公式中的 $k_1$、$b_1$ 是斜率和截距

曲线的水平渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=c_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=c_2$$

当 $c_1\ne c_2$ 的时候有两条水平渐近线。

曲线的垂直渐近线

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\text{或者}\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

$x=x_0$ 的时候，为垂直渐近线。

十五、欧拉公式

$$sin\theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j}$$$$cos\theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}$$$$e^{j\theta }=cos\theta +j\times sin\theta$$

十六、泰勒公式的一些应用

首当其冲的就是求极限

这个就不多讲了，不过需要注意的是，一般上来讲，是 $x\to 0$ 的才行，还有就是可以多展开几项更加准确。

其次，就是泰勒公式与高阶导数之间的关系

这里不再赘述。

这里主要是说明泰勒公式在求和方面的应用。（或许未来会整理到一个单独的文件中。）

注意到常见的泰勒展开式前面是有系数的。

也就是说，当涉及到"系数"相加的情况，可以考虑泰勒公式。

例如下面这两个例子：

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln 2$$

这里主要用到了 $\ln (x+1)$ 的泰勒展开。

$$\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)$$

令 $x=1$ 就可以得到上面的结果。

另外一个例子：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e$$

这个是用到了 $e^x$ 的泰勒展开式。

$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

当 $x=1$ 的时候，与上式相等。

以此类推，可能会有 $\sin (1)$、$\cos (1)$ 之类的东西出现。

十七、一些积分相关的东西

$$({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin (2x)$$

基本积分公式

$$\int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{(\alpha +1)}+C(\alpha \ne -1)$$$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$$$$\int e^{x}dx=e^x+C$$$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$$$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$$$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$$$$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$$$$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$$$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$$$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$$$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C$$$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$$$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$$$$\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$

下面补充积分：

$$\int \frac{1}{\sin x\cos x}dx=\ln |\tan x|+c$$

形如 $\int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx$

核心要义就是令分子 = A 分母+B 分母的导数

例如：

$$\int \frac{3\sin x-7\cos x}{2\sin x+9\cos x}dx$$

令 $3\sin x-7\cos x=A(2\sin x+9\cos x)+B(2\cos x-9\sin x)$

可有得到：

$$\{\begin{array}{l}3=2A-9B\\ -7=9A+2B& \end{array}$$

IMPORTANT

这里暂定，有些许问题，后续再处理。

十八、圆

圆的标准方程：

在平面直角坐标系内，以 $(a,b)$ 为圆心，以 $r$ 为半径，圆的标准方程是：

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

圆的一般方程，也是在平面直角坐标系内。

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)$$

其中，

圆心：

$$(x,y)=(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$$

半径：

$$r=\left(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\right)$$

注意，若 $D^2+E^2-4F=0$ ，则表示，此方程为一个点，如果小于 0，则表示为一个虚圆（在虚轴上）。

参数方程：

圆心为 $(a,b)$ ，半径为 $r$ ，参数为 $\theta$ 。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta & & \end{array}(\theta \in [0,2\pi ))\end{array}$$

极坐标方程：

圆的半径为 $R$

圆心在极点处时候：

极坐标方程为：

$$\rho =r$$

圆心在极轴上的圆，半径为 $r$ ，圆心为 $C(a,0)$

极坐标方程表示为：

$$\begin{array}{rl}& \cos \theta =\frac{\rho }{2a}\\ \therefore & \rho =2a\cos \theta .\end{array}$$

过极点的圆：

圆心为 $C(a,\beta )$

极坐标方程为：

$$\begin{array}{r}\cos (\theta -\beta )=\frac{\rho }{2a}\\ \therefore \rho =2a\cos (\theta -\beta )\end{array}$$

十九、四种常用曲线

经常用于定积分求面积以及二重积分求体积。

星形线

基本方程：

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$$

参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=a{\sin }^3\theta & & \end{array}$$

图像：

摆线

参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )& \end{array}$$

图像：

心形线

基本方程：

$$x^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2}$$

极坐标方程：

$$\rho =a(1-\cos \theta )$$

图像：

伯努利双纽线

双纽线有两个，一个关于 $Y$ 轴对称，一个关于原点对称

$Y$ 轴对称双纽线

一般方程：

$${(x^2+y^2)}^2=a^2(x^2-y^2)$$

极坐标方程：

$${\rho }^2=a^2\cos 2\theta$$

图像：

原点对称双纽线

一般方程：

$${(x^2+y^2)}^2=2a^{2}xy$$

极坐标方程：

$${\rho }^2=a^2\sin 2\theta$$

图像：

二十、定积分求体积

些许题目的可以使用传统的求体积的方法：

贴近 x 轴 y 轴求体积

$y=g(x)$ 绕轴旋转一圈求体积

绕 x 轴旋转一周：

$$V_x{|}_a^b={\int }_a^b\pi f^2(x)dx$$

绕 y 轴旋转一周：

$$V_y{|}_c^d={\int }_c^d\pi g^2(y)dy$$

上面的公式适用于旋转体与 x 轴或 y 轴相近的情况，如果出现不相接触的情况用下面这个公式：

不贴近 x 轴 y 轴求体积

绕 y 轴：

$$V_y={\int }_a^{b}2\pi x(y_1-y_2)dx$$

绕 x 轴：

$$V_x={\int }_a^{b}2\pi y(x_1-x_2)dy$$

IMPORTANT

注意，上面绕 x 轴公式中的 $x_1$ 和 $x_2$ 是关于 $y$ 的方程。

参数方程求体积

直接上方程

绕 x 轴：

$$V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{y}^2(\theta )d(x(\theta ))$$

绕 y 轴：

$$V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{x}^2(\theta )d(y(\theta ))$$

极坐标绕极轴的体积

$$V=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$$

除极坐标的通用方法

利用二重积分求解定积分体积问题。

任意图形绕任意轴旋转一周的体积，有公式：

$$V={\iint }_{D}2\pi P(x,y)dxdy$$

其中 $D$ 代表图形的限制范围

$P(x,y)$ 代表图形上任意一点 $(x,y)$ 到这条直线的距离，

直线距离公式：设直线方程为 $Ax+By+C=0$ ，点 $P(x_1,y_1)$ ，

$$D=\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

用语言描述就是，将这个点代入到这个方程中，然后除以方程系数平方和的开根号。

这么说不太好理解，来个例题：

求 $y=\cos x(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2})$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 x 轴旋转一周的体积

根据上面的方法，可以直接列公式：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\cos x}2\pi (y)dy\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\pi y^2{|}_0^{\cos x}\right)dx\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\pi {\cos }^2(x))dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^2(x))dx\\ & =2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =\frac{{\pi }^2}{2}\end{array}$$

上面就是利用二重积分求解体积。

不过需要注意的是，上面这个限制范围的 $x$ 是取值，而 $y$ 是函数的范围。

求 $y=\cos x(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2})$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 y 轴旋转一周的体积

依然是直接列公式：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\cos x}2\pi (x)dy\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2\pi xy{|}_0^{\cos x}\right)dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2\pi x\cos x)dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xd(\sin x)\\ & =2\pi (x\cdot \sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx)\\ & =2\pi (\frac{\pi }{2}+\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}})\\ & =2\pi (\frac{\pi }{2}-1)\end{array}$$

二十一、柯西积分不等式

若 $f(x)、$ $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则有：

$${({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx$$

二十二、定积分与常数不等式

NOTE

如果一个不等式的一段是定积分，一端是常数，则计算方法一定是先积分中值定理，再罗尔定理

二十三、奇函数积分与偶函数积分

$${\int }_0^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}$$$${\int }_a^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}(a\ne 0)$$$${\int }_0^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{奇}$$$${\int }_a^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{为}\mathrm{偶}(a\ne 0)$$

二十四、基本不等式

对于正实数 $a,b$ ，有：

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

按照顺序得到的结果是：

调和 < 几何 < 算术 < 平方

被称为调几算方

N 元均值不等式

对于任意的正整数 $n$ ，以及任意 $a_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$ 有：

$$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$$

二十五、拉格朗日乘数法求解多元函数极值点

二十六、常见泰勒公式

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \sin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\frac{62}{2835}{x}^9+\frac{1382}{155925}{x}^{11}+\frac{21844}{6081075}{x}^{13}+\frac{929569}{638512875}{x}^{15}+\cdots ,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ \arctan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+\cdots +x\in [-1,1]\\ \arcsin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\frac{35}{1152}{x}^9+\cdots +,x\in (-1,1)\\ \ln (1+x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\cdots ,x\in (-1,1]\\ \frac{1}{1-x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,x\in (-1,1)\\ \frac{1}{1+x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+\cdots ,x\in (-1,1)\\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,x\in (-1,1)\end{array}$$

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王海平

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