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一、快速抓大头

抓大头直接得到结果：

$$n^n>n!>a^n>n^a>n>\sqrt{n}>\ln n(a>1,n>+\mathrm{\infty })$$

二、$n$ 次根号下累加的性质

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}\text{其中}{a}_i>0,i=1,2,\cdots ,n$$

例题：

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{|x|}^{3n}}\text{求}f(x)\text{在何处不可导}$$$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+|x{|}^{3n}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{\left(|x{|}^3\right)}^n}\\ & =max\{1,|x{|}^3\}\end{array}$$

这个函数的图像如下：

可以很轻松的得到 $f(x)$ 在 $-1$ 和 $1$ 处不可导。

三、指数相乘三角函数的快速求积分

这个是对于指数相乘三角函数的快速求积分的方法

$$\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\sin bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \sin bx\end{array}\right|+c$$$$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\cos bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \cos bx\end{array}\right|+c$$

需要注意的是，核心是计算这个行列式。

四、$f(x)=x\cdot \ln x$

$$f(x)=x\cdot \ln x$$

需要记忆这个函数的图像。

五、$\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

记忆

$$g(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

的有关性质。

1、 $g(x)$ 是一个奇函数

2、

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

3、

$$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+c$$

这个公式的推导来自于基本积分公式：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$

六、关于 $\sqrt[n]{n}$ 的一些性质

1、$\sqrt[n]{n}$ 的最大值是 $\sqrt[3]{3}$

2、$\sqrt[x]{x}$ 的最大值是 $\sqrt[e]{e}$

3、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{A}=1$$

4、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}(k_i\le n)(a_i>0)$$

七、导数与原式同时出现

如果 $f^{\prime }(x)$ 和 $f(x)$ 同时出现，那么需要考虑两种情况。

第一个，考虑拉格朗日中值定理

$$f(x)-f(a)=f^{\prime }(\xi )\cdot (x-a)\xi \in (a,x)$$

第二个，考虑积分

$$f(x)-f(a)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$$

八、常见函数的极限

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=0$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=-1$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$$

例题：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x$$

这里需要分左右极限来处理。

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ \Rightarrow & -1\cdot \frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ & \Rightarrow 1\cdot -\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

九、变上限积分的无穷小

$${\int }_0^{x^n}{t}^{m}dt\mathrm{是}x\text{的}(m+1)\cdot n\text{阶无穷小}$$

例题：

$$x\to 0\text{时，}{\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt\text{是}x\text{的几阶无穷小}$$$${\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt={\int }_0^{x^3}{t}^{4}dt$$

根据上面的公式，得到原式是 $x$ 的 $(4+1)\times 3=15$ 阶无穷小。

十、三步走和四步走

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+e^{nx}}{1+e^{nx}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}\frac{1+x}{2}& x=0\\ 1& x>0\\ x+1& x<0\end{array}$$

核心在于将 $f(x)$ 中的 $n$ 去掉。

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ 0& x=-1\\ 1+x& |x|<1\\ 0& |x|>1.\end{array}$$

关键是在于要学会对 $f(x)$ 进行分析。

十一、积化和差以及和差化积公式

$$\begin{array}{c}\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{c}\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \tan \alpha -\tan \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \cot \alpha +\cot \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \cot \alpha -\cot \beta =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha +\cot \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha -\cot \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\end{array}$$

记忆口诀： 正加正，正在前， 余加余，余并肩。 正减正，余在前， 余减余，负正弦。

积化和差公式：

$$\begin{array}{c}\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

记忆口诀： 积化和差得和差， 余弦在后要相加； 异名函数取正弦， 正弦相乘取负号。

十二、切线方程

过 $P$ 点的切线方程为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

若过P另有曲线C的切线，切点为 $Q(b,f(b))$，则切线为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(b)(x-a)$$

十三、曲率与曲率半径

曲率，主要是用到了与导数相关的知识。

曲率：

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{[1+(y^{\prime }{)}^2]}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径：

$$R=\frac{1}{K}$$

十四、曲线渐近线问题

曲线的斜渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_1\text{且}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{1}x)=b_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_2\text{且}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{2}x)=b_2$$

上面公式中的 $k_1$、$b_1$ 是斜率和截距

曲线的水平渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=c_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=c_2$$

当 $c_1\ne c_2$ 的时候有两条水平渐近线。

曲线的垂直渐近线

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\text{或者}\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

$x=x_0$ 的时候，为垂直渐近线。

十五、欧拉公式

$$sin\theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j}$$$$cos\theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}$$$$e^{j\theta }=cos\theta +j\times sin\theta$$

十六、泰勒公式的一些应用

首当其冲的就是求极限

这个就不多讲了，不过需要注意的是，一般上来讲，是 $x\to 0$ 的才行，还有就是可以多展开几项更加准确。

其次，就是泰勒公式与高阶导数之间的关系

这里不再赘述。

这里主要是说明泰勒公式在求和方面的应用。（或许未来会整理到一个单独的文件中。）

注意到常见的泰勒展开式前面是有系数的。

也就是说，当涉及到"系数"相加的情况，可以考虑泰勒公式。

例如下面这两个例子：

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln 2$$

这里主要用到了 $\ln (x+1)$ 的泰勒展开。

$$\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)$$

令 $x=1$ 就可以得到上面的结果。

另外一个例子：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e$$

这个是用到了 $e^x$ 的泰勒展开式。

$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

当 $x=1$ 的时候，与上式相等。

以此类推，可能会有 $\sin (1)$、$\cos (1)$ 之类的东西出现。

十七、一些积分相关的东西

$$({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin (2x)$$

贡献者

王海平

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