Skip to content
字数
3778 字
阅读时间
19 分钟

一、快速抓大头

抓大头直接得到结果:

nn>n!>an>na>n>n>lnn(a>1,n>+)

二、n 次根号下累加的性质

limna1n+a2n++annn=max{ai}其中ai>0,i=1,2,,n

例题:

f(x)=limn1n+|x|3nnf(x)在何处不可导f(x)=limn1n+|x|3nn=limn1n+(|x|3)nn=max{1,|x|3}

这个函数的图像如下:

|300

可以很轻松的得到 f(x)11 处不可导。

三、指数相乘三角函数的快速求积分

这个是对于指数相乘三角函数的快速求积分的方法

eaxsinbxdx=1a2+b2|(eax)(sinbx)eaxsinbx|+ceaxcosbxdx=1a2+b2|(eax)(cosbx)eaxcosbx|+c

需要注意的是,核心是计算这个行列式。

四、f(x)=xlnx

f(x)=xlnx

需要记忆这个函数的图像。

|325

五、ln(x+1+x2)

记忆

g(x)=ln(x+1+x2)

的有关性质。

1、 g(x) 是一个奇函数

2、

g(x)=11+x2

3、

11+x2dx=ln(x+1+x2)+c

这个公式的推导来自于基本积分公式:

1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+c

4、

等价无穷小,这个有时候用的挺多的

ln(x+x2+1)xx36+o(x3)

一般只用到前两项,如果还有必要,做题遇到再说,因为这个函数的导数不是很好求,不过依然可以用泰勒展开求解。

六、关于 nn 的一些性质

1、nn 的最大值是 33

2、xx 的最大值是 ee

3、

limnnn=limnAn=1

4、

limna1n+a2n++annn=max{ai}(kin)(ai>0)

七、导数与原式同时出现

如果 f(x)f(x) 同时出现,那么需要考虑两种情况。

第一个,考虑拉格朗日中值定理

f(x)f(a)=f(ξ)(xa)ξ(a,x)

第二个,考虑积分

f(x)f(a)=0xf(t)dt

八、常见函数的极限

limx+ex=+limxex=0limx0+e1x=+limx0e1x=0limx+1+x2x=1limx1+x2x=1limx+arctanx=π2limxarctanx=π2limx0+arctan1x=π2limx0arctan1x=π2

例题:

limx1ex1+exarctanx

这里需要分左右极限来处理。

limx+1ex1+exarctanx1π2=π2limx1ex1+exarctanx1π2=π2

九、变上限积分的无穷小

0xntmdtx(m+1)n阶无穷小

例题:

x0时,0x3(et41)dtx的几阶无穷小0x3(et41)dt=0x3t4dt

根据上面的公式,得到原式是 x(4+1)×3=15 阶无穷小。

十、三步走和四步走

对于

f(x)=limnx+enx1+enx

可以得到:

{1+x2x=01x>0x+1x<0

核心在于将 f(x) 中的 n 去掉。

对于

f(x)=limn1+x1+x2n

可以得到:

{1x=10x=11+x|x|<10|x|>1.

关键是在于要学会对 f(x) 进行分析。

十一、三角恒等变换相关公式

积化和差以及和差化积公式

sinα+sinβ=2sinα+β2cosαβ2sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2cosα+cosβ=2cosα+β2cosαβ2cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2tanα+tanβ=sin(α+β)cosαcosβtanαtanβ=sin(αβ)cosαcosβcotα+cotβ=sin(α+β)sinαsinβcotαcotβ=sin(αβ)sinαsinβtanα+cotβ=cos(αβ)cosαsinβtanαcotβ=cos(α+β)cosαsinβ

记忆口诀: 正加正,正在前, 余加余,余并肩。 正减正,余在前, 余减余,负正弦。

积化和差公式:

sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(αβ)]cosαsinβ=12[sin(α+β)sin(αβ)]cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(αβ)]sinαsinβ=12[cos(α+β)cos(αβ)]

记忆口诀: 积化和差得和差, 余弦在后要相加; 异名函数取正弦, 正弦相乘取负号。

和差角公式

sin(α±β)=sinαcosβ±sinβcosαcos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβtan(α±β)=tanα±tanβ1tanαtanβ

六边形关系

其中有三组关系:

  • 边上的三角函数两边相乘等于中间
  • 染了色的三角形上面两个三角函数的平方和等于下面的
  • 相对的三角函数是倒数关系

二倍角公式

sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2αtan2α=2tanα1tan2α

三倍角公式

sin3α=3sincos2αsin3αcos3α=cos3α3sin2αcosα

半角公式

注意,具体需要符号看象限

sinα2=±1cosα2cosα2=±1+cosα2tanα2=±1cosα1+cosαtanα2=sinα1+cosα=1cosαsinα

降幂公式

sinαcosα=sin2α2sin2α=1cos2α2cos2α=1+cos2α2

辅助角公式

asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+φ)

其中, tanφ=ba

点鞭炮公式

cosθcos2θcos4θcos2nθ=i=0ncos2iθ=sin2n+1α2n+1sinα

万能公式

辅助记忆图:

sinx=2sinx2cosx2=2tanx2sec2x2=2tanx21+tan2x2cosx=cos2x2sin2x2=1tan2x2sec2x2=1tan2x21+tan2x2cotα=1tan2α22tanα2secα=1+tan2α21tan2α2cscα=1+tan2α22tanα2tanx=2tanx21tan2x2tanx2=sinx1+cosx=1cosθsinθ

十二、切线方程

P 点的切线方程为:

yf(a)=f(a)(xa)

若过P另有曲线C的切线,切点为 Q(b,f(b)),则切线为:

yf(a)=f(b)(xa)

十三、曲率与曲率半径

曲率,主要是用到了与导数相关的知识。

曲率:

K=|y|[1+(y)2]32

曲率半径:

R=1K

十四、曲线渐近线问题

曲线的斜渐近线

limx+yx=k1limx+(yk1x)=b1limxyx=k2limx(yk2x)=b2

上面公式中的 k1b1 是斜率和截距

曲线的水平渐近线

limx+y=c1limxy=c2

c1c2 的时候有两条水平渐近线。

曲线的垂直渐近线

limxx0+f(x)=或者limxx0f(x)=

x=x0 的时候,为垂直渐近线。

十五、欧拉公式

sinθ=ejθejθ2jcosθ=ejθ+ejθ2ejθ=cosθ+j×sinθ

十六、泰勒公式的一些应用

首当其冲的就是求极限

这个就不多讲了,不过需要注意的是,一般上来讲,是 x0 的才行,还有就是可以多展开几项更加准确。

其次,就是泰勒公式与高阶导数之间的关系

这里不再赘述。

这里主要是说明泰勒公式在求和方面的应用。(或许未来会整理到一个单独的文件中。)

注意到常见的泰勒展开式前面是有系数的。

也就是说,当涉及到"系数"相加的情况,可以考虑泰勒公式。

例如下面这两个例子:

112+1314+1516+=ln2

这里主要用到了 ln(x+1) 的泰勒展开。

ln(x+1)=xx22+x33+=n=1(1)n1xnn(1<x1)

x=1 就可以得到上面的结果。

另外一个例子:

n=01n!=e

这个是用到了 ex 的泰勒展开式。

ex=n=0xnn!

x=1 的时候,与上式相等。

以此类推,可能会有 sin(1)cos(1) 之类的东西出现。

十七、一些积分相关的东西

(sin2x)=2sinxcosx=sin(2x)

基本积分公式

xαdx=1α+1x(α+1)+C(α1)1xdx=ln|x|+Caxdx=axlna+C(a>0,a1)exdx=ex+Csinxdx=cosx+Ccosxdx=sinx+Ctanxdx=ln|cosx|+Ccotxdx=ln|sinx|+Csec2xdx=tanx+Ccsc2xdx=cotx+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=cscx+Csecxdx=ln|secx+tanx|+Ccscxdx=ln|cscx+cotx|+C=ln|cscxcotx|+Cdxa2+x2=1aarctanxa+Cdxa2x2=12aln|x+axa|+C1x2a2dx=12aln|xax+a|+Cdxa2x2=arcsinxa+Cdxx2+a2=ln|x+x2+a2|+Cdxx2a2=ln|x+x2a2|+C

下面补充积分:

1sinxcosxdx=ln|tanx|+c

形如 asinx+bcosxcsinx+dcosxdx

核心要义就是令分子 = A 分母+B 分母的导数

例如:

3sinx7cosx2sinx+9cosxdx

3sinx7cosx=A(2sinx+9cosx)+B(2cosx9sinx)

可有得到:

{3=2A9B7=9A+2B

IMPORTANT

这里暂定,有些许问题,后续再处理。

十八、圆

圆的标准方程:

在平面直角坐标系内,以 (a,b) 为圆心,以 r 为半径,圆的标准方程是:

(xa)2+(yb)2=r2

圆的一般方程,也是在平面直角坐标系内。

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)

其中,

圆心:

(x,y)=(D2,E2)

半径:

r=(D2+E24F2)

注意,若 D2+E24F=0 ,则表示,此方程为一个,如果小于 0,则表示为一个虚圆(在虚轴上)。

参数方程:

圆心为 (a,b) ,半径为 r ,参数为 θ

{x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ[0,2π))

极坐标方程:

圆的半径为 R

圆心在极点处时候:

极坐标方程为:

ρ=r

圆心在极轴上的圆,半径为 r ,圆心为 C(a,0)

极坐标方程表示为:

cosθ=ρ2aρ=2acosθ.

过极点的圆:

圆心为 C(a,β)

极坐标方程为:

cos(θβ)=ρ2aρ=2acos(θβ)

十九、四种常用曲线

经常用于定积分求面积以及二重积分求体积。

星形线

基本方程:

x23+y23=a23

参数方程:

{x=acos3θy=asin3θ

图像:

摆线

参数方程:

{x=a(θsinθ)y=a(1cosθ)

图像:

心形线

基本方程:

x2+y2+ax=ax2+y2

极坐标方程:

ρ=a(1cosθ)

图像:

伯努利双纽线

双纽线有两个,一个关于 Y 轴对称,一个关于原点对称

Y 轴对称双纽线

一般方程:

(x2+y2)2=a2(x2y2)

极坐标方程:

ρ2=a2cos2θ

图像:

原点对称双纽线

一般方程:

(x2+y2)2=2a2xy

极坐标方程:

ρ2=a2sin2θ

图像:

二十、定积分求体积

些许题目的可以使用传统的求体积的方法:

贴近 x 轴 y 轴求体积

y=g(x) 绕轴旋转一圈求体积

绕 x 轴旋转一周:

Vx|ab=abπf2(x)dx

绕 y 轴旋转一周:

Vy|cd=cdπg2(y)dy

上面的公式适用于旋转体与 x 轴或 y 轴相近的情况,如果出现不相接触的情况用下面这个公式:

不贴近 x 轴 y 轴求体积

绕 y 轴:

Vy=ab2πx(y1y2)dx

绕 x 轴:

Vx=ab2πy(x1x2)dy

IMPORTANT

注意,上面绕 x 轴公式中的 x1x2 是关于 y 的方程。

参数方程求体积

直接上方程

绕 x 轴:

V=παβy2(θ)d(x(θ))

绕 y 轴:

V=παβx2(θ)d(y(θ))

极坐标绕极轴的体积

V=12αβρ2(θ)dθ

除极坐标的通用方法

利用二重积分求解定积分体积问题。

任意图形绕任意轴旋转一周的体积,有公式:

V=D2πP(x,y)dxdy

其中 D 代表图形的限制范围

P(x,y) 代表图形上任意一点 (x,y) 到这条直线的距离,

直线距离公式:设直线方程为 Ax+By+C=0 ,点 P(x1,y1)

D=Ax1+By1+CA2+B2

用语言描述就是,将这个点代入到这个方程中,然后除以方程系数平方和的开根号。

这么说不太好理解,来个例题:

y=cosx(π2xπ2)x 轴围成的区域绕 x 轴旋转一周的体积

|525

根据上面的方法,可以直接列公式:

V=π2π2dx0cosx2π(y)dy=π2π2(πy2|0cosx)dx=π2π2(πcos2(x))dx=2π0π2(cos2(x))dx=2π12π2=π22

上面就是利用二重积分求解体积。

不过需要注意的是,上面这个限制范围的 x 是取值,而 y 是函数的范围。

y=cosx(π2xπ2)x 轴围成的区域绕 y 轴旋转一周的体积

依然是直接列公式:

V=0π2dx0cosx2π(x)dy=0π2(2πxy|0cosx)dx=0π2(2πxcosx)dx=2π0π2xd(sinx)=2π(xsinx|0π20π2sinxdx)=2π(π2+cosx|0π2)=2π(π21)

二十一、柯西积分不等式

f(x) g(x)[a,b] 上连续,则有:

(abf(x)g(x)dx)2abf2(x)dxabg2(x)dx

二十二、定积分与常数不等式

NOTE

如果一个不等式的一段是定积分,一端是常数,则计算方法一定是先积分中值定理,再罗尔定理

二十三、奇函数积分与偶函数积分

0xdx=axdx=(a0)0xdx=axdx=(a0)

二十四、基本不等式

对于正实数 a,b ,有:

21a+1baba+b2a2+b22

按照顺序得到的结果是:

调和 < 几何 < 算术 < 平方

被称为调几算方

N 元均值不等式

对于任意的正整数 n ,以及任意 ai>0(i=1,2,,n) 有:

a1a2anna1+a2++ann

二十五、拉格朗日乘数法求解多元函数极值点

二十六、常见泰勒公式

ex=n=01n!xn=1+x+12!x2+,x(,+)sinx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1=x13!x3+15!x5+,x(,+)cosx=n=0(1)n(2n)!x2n=112!x2+14!x4+,x(,+)tanx=n=1B2n(4)n(14n)(2n)!x2n1=x+13x3+215x5+17315x7+622835x9+1382155925x11+218446081075x13+929569638512875x15+,x(π2,π2)arctanx=n=0(1)n2n+1x2n+1=x13x3+15x5++x[1,1]arcsinx=n=0(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1=x+16x3+340x5+5112x7+351152x9++,x(1,1)ln(1+x)=n=0(1)nn+1xn+1=x12x2+13x3+,x(1,1]11x=n=0xn=1+x+x2+x3+,x(1,1)11+x=n=0(1)nxn=1x+x2x3+,x(1,1)(1+x)α=1+n=1α(α1)(αn+1)n!xn=1+αx+α(α1)2!x2+,x(1,1)

贡献者

文件历史