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近期刷视频的时候偶然间刷到了这个视频，感觉很有道理，并且我也尝试着去推导了一下，结果令我很开心。

首先，我们需要明确我们的目标：

1. 知道泰勒公式的内涵。
2. 明确泰勒公式的作用。

那么假设，我们现在不知道泰勒公式的存在。接下来开始一步一步的“发明”泰勒公式。

关于函数，相信大家都学过很多类型，比如 $\sin (x)$，$\cos (x)$，${\log }_2(x)$，等等。这些函数的各个性质不同，同样的图像也形色各异。

但是我们现在的需求是想要找到一个 $g(x)$，能够在某一点上完全接近于 $f(x)$。

以至于，从一个点延伸到一段线段上，我们能将两个函数完全拟合。

但是，请注意这个目的的前提，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是完全不同的两个函数。但是我们想要在一段范围之内，将这两个函数能够拟合到一起。

根据微分的定义。

如果我能证明这两个函数在一段范围内的零阶导数（$f(x)$ 本身和 $g(x)$ 本身），一阶导数、二阶导数、直到 $n$ 阶导数上完全一样，那么我们认为这两个函数在这一段范围上是"完全一样的"。

进而引出我们的证明：

IMPORTANT

我们需要先明确一点，就是我们现在在证明的是当 $x=x_0$ 的时候，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是相等的。

首先 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相等。我们将其等于一个 $a_0$

$$f(x)=g(x)=a_0$$

这意味着，整个函数在定义域上的值都是 $a_0$，所以带入 $x_0$ 得到的结果依然是 $a_0$

那么接下来是一阶导数相等。

$$f^{{}^{\prime }}(x_0)=g^{{}^{\prime }}(x_0)=a_1$$

我们将其连等于 $a_1$

但是，很明显，现在这个样子是不能实现相互之间成立的。

所以需要将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 进行更改。

需要注意的是，对常数求导得到的是 $0$，所以我们可以在原先 $f(x)$ 的基础上加上 $a_1(x)$

这样得到的 $f(x)=a_0+a_1(x)$，但是我们会发现当代入 $x_0$ 的时候，并不满足零阶导数相等。

所以将 $f(x)$ 换成 $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)$

这样，$f(x)$ 就既满足一阶导数，也满足零阶导数。

再来看二阶导数。

我们需要满足二阶导数相等。

$$f^{(2)}(x_0)=g^{(2)}(x_0)=a_2$$

继续在 $f(x)$ 的基础上进行相加。

得到：

$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\frac{a_2}{2}(x-x_0{)}^2$$

之所以是 $\frac{a_2}{2}$，是因为对平方求导之后，幂需要乘到前面来。

通过对上面的 $f(x)$ 求完零阶导数、一阶导数、二阶导数后带入 $x_0$，发现能够同时满足我们的要求。

在此基础上，我们引入三阶导数。

$$f^{(3)}(x_0)=g^{(3)}(x_0)=a_3$$

根据前面计算的规律，我们在之前的 $f(x)$ 的基础上再加上一项。

很明显这一项需要满足求三次导数之后等于 $a_3$

所以这一项为 $\frac{a_3}{2\times 3}(x-x_0{)}^3$。

放到 $f(x)$ 中得到的结果是：

$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\frac{a_2}{2}(x-x_0{)}^2+\frac{a_3}{2\times 3}(x-x_0{)}^3$$

通过计算三次导数，得到的规律不难得出。

从而我们可以得出拟合的结果：

$$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\frac{a_2}{2}(x-x_0{)}^2+\frac{a_3}{2\times 3}(x-x_0{)}^3+\dots \dots +\frac{a_n}{n!}(x-x_0{)}^{(n)}$$

这，便是泰勒公式。

IMPORTANT

但是，需要注意的是：

在计算极限的时候，通常会用到泰勒展开，但是尤其需要注意的是，一般用到的泰勒展开都是在 $x=0$ 处的展开，如果极限不是趋于 $0$，那么需要额外注意，

此外在进行泰勒展开的时候，需要特别注意展开到的位置，因为如果展开不到位，会导致不"精确"，而这种"不精确"就会导致计算错误。 通常情况下，多展开一项，不会错。

贡献者

王海平

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