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首先需要知道凹凸性以及拐点的定义。

凹凸性和拐点的定义

NOTE

凹凸性定理： 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则判断为凹。 反之，若 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则判断为凸。

拐点判断依据： 左右两侧凹凸性相反的点，（左右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 异号的点）

需要注意的是，拐点需要写成坐标的形式。并且凹凸区间是闭区间

极值问题

然后是极值问题，在导数的应用中提到了极值的求解方法。

需要注意的是：

极值是一个局部性的定义。

极大值和极小值没有关系。

极值的判别方法

极值有两种判别方法：

第一种是万能方法，先增后减是极大值，先减后增是极小值。

IMPORTANT

一阶导数等于 0 时，不一定是极值点，需要判断。

第二种方法具有局限性。

定理如下：

若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极小值点。

若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极大值点。

IMPORTANT

反过来说，若 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点，且 $f^{\prime \prime }(x)$ 存在，则 $f^{\prime \prime }(x)=0$。

相互之间的关系（结论）

IMPORTANT

若 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$，则 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

若 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极小值点

若 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极大值点

上面的证明使用的是导数的定义和保号性。

其中，还需要注意的是：

NOTE

可导的极值点可以推断出是驻点，但是反之不成立。

也就是说，是驻点，不一定是极值点。

贡献者

王海平

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b8e1c-update 于 3/19/2025